F.Coelho

Um som (desafinado) em imagem



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F.Coelho    127

Esta foi uma pequena brincadeira que fiz, no seguimento de alguém ter escrito num post a questão do “ataque” na guitarra.

Do que fui lendo, o ataque tem muito a ver com o timbre do instrumento. É uma altura em que a frequência fundamental e os respectivos harmónicos naturais se fazem mais sentir até se atingir a intensidade máxima do toque. Para uma frequência fundamental de 100Hz (100 ciclos por segundo), os seus harmónicos naturais resultam da multiplicação da frequência por 2, 3, 4, … obtendo assim 200, 300, 400Hz,...

Assumo que a frequência fundamental tem sempre a maior intensidade em qualquer momento. Consoante o instrumento, a relação de intensidades entre harmónicos e fundamental vai variando. Assim haverá um instrumento que terá mais enfase nas frequências 3X e 5X a fundamental, por exemplo, outro nas frequências 2X e 4X (enfim, imaginem que estão a cozinhar, o gosto do prato variará conforme utilizem mais ou menos sal, menos ou mais salsa, mais ou menos louro, mais ou menos pimenta, …. uma variedade de paladares possíveis).

Daqui a variedade de instrumentos que existem.

Nesta brincadeira que fiz, reparei que estou limitado pela computação e grafismo da aplicação utilizada (tabela do openoffice). Por outro lado, utilizei fórmulas que não correspondem bem à realidade, mas que dá uma boa aproximação. Por outro lado este trabalho nada tem de extraordinário é matemática básica, por isto, este trabalho é bastante modesto, feito numa folha de cálculo (porque não gosto de estar parado, tive de fazer algo:)).

Antes de avançar. Tive que escolher uma frequência fundamental que desse algum grafismo, pois escolhi uma variação de tempo de 0,01 segundos para um intervalo de 5 segundos (se olharem para o eixo do "X", verão que a escala vai desde 1 a 501, ou seja, desde 1 décimo de segundo até 501 décimos de segundo).  O valor 0,01 comporta-se como uma frequência de amostragem (são definidos pontos de 0,01 em 0,01 segundos).

Por outro lado só considerei 4 frequências (a fundamental e os 3 primeiros harmónicos).

Vamos lá ver então os resultados.

O primeiro gráfico representa a frequência fundamental de 43Hz.

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A seguir, o segundo gráfico representa a frequência de 86Hz (= 2 X 43Hz).

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A seguir, o terceiro gráfico representa a frequência de 129Hz(= 3 X 43Hz).

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A seguir, o quarto gráfico representa a frequência de 172Hz(= 4 X 43Hz).

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O gráfico seguinte representa a soma das 4 frequências apresentadas nos 4 gráficos anteriores. Este gráfico não tem quaisquer atenuações de frequências. Interessante como a soma de formas regulares (4 ondas periódicas) dá este grafismo. Para quem navegou, sabe que uma coisa é navegar num mar com uma só ondulação certinha. Outra coisa é navegar com a soma, por exemplo, de uma ondulação e de uma vaga. O mar por vezes fica quase sem definição, embora o fenómeno de maior altura ainda se perceba.

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O gráfico que se segue representa as funções que utilizei para atenuar as frequências. É uma espécie de filtro. Ou voltando à nossa cozinha, é a receita dos temperos.

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Como traduzir? Dá-se uma palhetada na corda da guitarra. No primeiro segundo, até ao valor 101 no eixo do "X", (em que assumi que todas as frequências têm a mesma intensidade, fundamental e harmónicos) a intensidade do som cresce rapidamente segundo uma função parabólica (é mais um polinómio do 4 grau, mas para efeitos mais práticos, digamos que é uma parábola).

Após o primeiro segundo, onde é atingida a intensidade máxima o som começa a decair naturalmente, pelas ficções na pestana e na ponte e atracção magnética dos pickups.

E isso é traduzido por funções da família da função f(t)=1/t (à medida que o tempo vai passando a função aproxima-se mais de zero, o que representa a atenuação do som na prática).

Utilizei 4 funções, uma para cada frequência (fundamental, mais os 3 harmónicos) . Como vemos existem diferenças nas quatro. Vemos que uma correm mais depressa para zero que outras. E o porquê disso?

Ora quanto maior a frequência, maior a atenuação. E como tal, forcei os harmónicos a desaparecerem mais depressa (para a fundamental utilizei f(t)=1/t a vermelho e para a maior frequência f(t)=1/t^3, a cor violeta).

 

Depois destes dois últimos gráficos terem sido multiplicados um pelo outro, o resultado obtido foi o seguinte:

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Uma imagem de som.

Volto a colocar a imagem do gráfico sem a atenuação para que possam ver as diferenças mais facilmente (reparei que quando se consulta o tópico as duas imagens estão afastadas e não dá para ver na mesma página).

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xtech    2773

Grande post. Confesso que ainda não tive tempo para ler com cuidado, mas tenho uma questão: que software usaste?

  • Obrigado 1

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F.Coelho    127

Obrigado XTECH.

Utilizei a folha de cálculo do Openoffice.

Ontem fiquei a matutar e lembrei-me do post sobre o analógico e digital, mais especificamente,  sobre o processo de amostragem. Lembras-te que a frequência de amostragem deveria ser superior a 2 vezes a maior frequência (de preferência 3 vezes).

Agora é preciso calma para chegarmos a conclusões e este trabalho que fiz é um bom exemplo da teoria de amostragem. Vamos ver se conseguirei transmitir a ideia com clareza.

Quando comecei o trabalho tinha que simular o tempo a correr (desde a palhetada até o som desaparecer). Escolhi um intervalo de 5 segundos (é um sustain um bocado para o fraquito, mas se optasse por 10 segundos o gráfico se calhar não cabia aqui na página do fórum, ou então tinha de reduzi-lo e o que resultava era um gráfico mancha tipo borrão, onde só se veria os contornos). Até aqui tudo certo, oK?

No que se refere aos 5 segundos, como estou a trabalhar com uma folha de cálculo, tenho que colocar em cada linha um tempo para que sejam calculadas todas as funções para esse dado tempo. No tempo "0", tudo dá zero. Por exemplo, no tempo 4 segundos os cálculos darão um determinado valor... etc.

Como são valores discretos (linha a linha), como "partir" os 5 segundos? Bem podia partir em 1 segundos e ficava com 6 linhas de cálculo, especificamente, para: 0, 1, 2, 3, 4 e 5 segundos. E o que é que aconteceria? Só tinha 6 pontos para construir o gráfico. Quando desse ordem à aplicação para construir o gráfico o que resultava era que ela iria unir os dados dos 6 pontos obtidos e que sendo pouca informação, resultaria num gráfico muito pobre.

 

Pausa...

Vamos perceber o conceito que vou apresentar para entender o que se segue.

Se tiver uma frequência de 10 Hz -> tenho 10 ondas por segundo -> que cada onda ocorre de 0,1 a 0,1 segundo. Correcto? Este valor de 0,1s chama-se o "período" e obtém-se dividindo 1 pela frequência (nada de confusões:D). Tudo claro até agora. Certo?

Outro exemplo:

Se tenho uma frequência de amostragem de 100 Hz, pelo teorema da amostragem, seria indicada para trabalhar com uma frequência máxima de 33,33(3)Hz. Pois 3 X 33,3(3) Hz = 100 Hz. Qual seria o período? Seria 1/100Hz= 0,01 s.

Fim de pausa.

Voltando aos 5 segundos. Quando dei o exemplo de partir este intervalo de tempo de 1s em 1s é o equivalente a dizer que de 1s em 1s tenho um ponto de amostragem (uma linha de cálculo na nossa folha), ou seja 1Hz.

 

Voltando ao trabalho que fiz. Se reparares, a fundamental é de 43 Hz. A maior frequência, correspondente ao 3 harmónico tem 172 Hz. Pelo teorema da amostragem teria de ter uma frequência de amostragem superior a 2 X 172 Hz = 344 Hz. Vamos supor que quero adoptar a frequência de amostragem de 3 X 172 Hz = 516 Hz.

A que isto me obriga? Ora tal significa que tenho de ter 516 pontos de amostragem por segundo. E tal significaria que o período seria igual a 1/516, ou seja 0,001938 s. De outra forma, tenho de ter 516 linhas de cálculo por cada segundo na nossa tabela. Para 5 segundos, teria um total de 5 X 516 = 2580 linhas de cálculo.

No trabalho que fiz, acabei por optar por 100 amostragens por segundo. E criticas agora e muito bem "Então estás a trabalhar com uma frequência de amostragem de 100Hz para uma frequência de 172 Hz. Isso vai contra a teoria. Que cálculos afinal são esses?"

Bem, tive a hipótese de testar várias frequências fundamentais. 40, 41, 42, 43, ... até 50Hz. Consoante cada frequência assim me apareciam gráficos totalmente diferentes. Escolhi a frequência de 43 Hz. É um número estranho e trabalha bem com 100 Hz. Existe um "desencontro" da amostragem com as frequências, o processo acaba por ser compensado nos ciclos seguintes. É só o que posso dizer. No entanto vê-se que o processo de uma menos correta amostragem, introduziu alguma distorção no grafismo.

Hoje, peguei novamente na folha de cálculo e para uma frequência fundamental de 1 Hz, e harmónicos de 2, 3 e 4 Hz e com 200 linhas de cálculo, por cada segundo (cálculos por cada 0,005 s) o que corresponde a uma frequência de amostragem de 200 Hz (que é largamente superior a 3 X 4 Hz = 12 Hz), obtive os seguintes gráficos:

Soma total das frequências (fundamental e harmónicos):

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Formato do som, depois do processo de atenuação

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É um grafismo mais "visível", mas com frequências muito baixas 1, 2, 3 e 4Hz.

No entanto a geometria das curvas obtidas não se afasta daquela que coloquei no meu post inicial.

A titulo de curiosidade. No gráfico que se segue abaixo retirei o 1º e o 2º harmónicos, portanto, só temos a fundamental e o 3º harmónico:

 

Gráfico de som fundamental e 3 harmónico.png

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xtech    2773

É muita areia para a minha camioneta... mesmo! Anyway, mais um grande post com sábia erudição! :yes: 

  • Obrigado 1

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